【常用不定积分公式】在数学学习和应用中，不定积分是微积分的重要组成部分。掌握常用的不定积分公式对于解题、理解函数性质以及进行更复杂的计算都有重要意义。以下是一些常见的不定积分公式，以文字说明与表格形式结合的方式进行总结，便于查阅与记忆。
一、基本积分公式
1. 常数的积分
$\int a \, dx = ax + C$（其中 $a$ 为常数）
2. 幂函数的积分
$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$（$n \neq -1$）
3. 指数函数的积分
$\int e^x \, dx = e^x + C$
$\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$（$a > 0$, $a \neq 1$）
4. 对数函数的积分
$\int \frac{1}{x} \, dx = \ln
5. 三角函数的积分
$\int \sin x \, dx = -\cos x + C$
$\int \cos x \, dx = \sin x + C$
$\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C$
$\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C$
6. 反三角函数的积分
$\int \frac{1}{1+x^2} \, dx = \arctan x + C$
$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \arcsin x + C$
二、常见组合函数积分
| 函数形式 | 不定积分公式 | ||
| $\int (ax + b)^n \, dx$ | $\frac{(ax + b)^{n+1}}{a(n+1)} + C$（$n \neq -1$） | ||
| $\int \frac{1}{ax + b} \, dx$ | $\frac{1}{a} \ln | ax + b | + C$ |
| $\int e^{ax} \, dx$ | $\frac{1}{a} e^{ax} + C$ | ||
| $\int \sin(ax) \, dx$ | $-\frac{1}{a} \cos(ax) + C$ | ||
| $\int \cos(ax) \, dx$ | $\frac{1}{a} \sin(ax) + C$ | ||
| $\int \frac{1}{x^2 + a^2} \, dx$ | $\frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C$ | ||
| $\int \frac{1}{x^2 - a^2} \, dx$ | $\frac{1}{2a} \ln \left | \frac{x - a}{x + a}\right | + C$ |
三、注意事项
- 积分结果中必须加上任意常数 $C$，表示所有可能的原函数。
- 在使用上述公式时，要注意变量替换和换元法的应用，尤其是在处理复合函数或复杂表达式时。
- 某些特殊函数的积分可能需要使用分部积分法、三角代换或其他技巧来完成。
四、小结
不定积分是微积分中的基础内容，掌握常见函数的积分公式有助于提高解题效率。本文整理了多项基本和常见组合函数的积分公式，并通过表格形式加以归纳，便于快速查阅与复习。建议在实际应用中结合具体问题灵活运用这些公式，同时注意积分过程中可能出现的限制条件与特殊情况。
如需进一步了解某些公式的推导过程或相关例题，可继续深入学习或参考微积分教材。
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