在微积分的学习过程中，不定积分是一个重要的内容，尤其对于一些较为复杂的函数，如含有乘积形式的函数，往往需要借助特定的技巧来求解。今天我们将探讨一个常见的不定积分问题：如何求 x·sinx 的不定积分。
首先，我们需要明确所要计算的积分形式是：
$$
\int x \cdot \sin x \, dx
$$
这个积分看起来并不复杂，但它并不是一个可以直接通过基本积分公式得出的答案，因此需要使用一种特殊的积分方法——分部积分法（Integration by Parts）。
一、分部积分法简介
分部积分法是基于乘积法则的逆运算，其基本公式为：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
其中，u 和 v 是关于 x 的可导函数，du 是 u 的微分，dv 是 v 的微分。
在处理类似 $ \int x \cdot \sin x \, dx $ 这样的积分时，我们通常将 x 作为 u，而将 sinx 作为 dv。
二、具体步骤
我们令：
- $ u = x $，则 $ du = dx $
- $ dv = \sin x \, dx $，则 $ v = -\cos x $
根据分部积分公式：
$$
\int x \cdot \sin x \, dx = x \cdot (-\cos x) - \int (-\cos x) \, dx
$$
化简得：
$$
= -x \cos x + \int \cos x \, dx
$$
接下来，计算简单的积分：
$$
\int \cos x \, dx = \sin x + C
$$
所以整个积分结果为：
$$
\int x \cdot \sin x \, dx = -x \cos x + \sin x + C
$$
三、验证答案是否正确
为了确认结果是否正确，我们可以对最终表达式进行求导，看是否能回到原函数 $ x \cdot \sin x $。
设：
$$
F(x) = -x \cos x + \sin x
$$
求导：
$$
F'(x) = -\cos x + x \sin x + \cos x = x \sin x
$$
确实等于原被积函数，说明我们的计算是正确的。
四、总结
通过应用分部积分法，我们成功地求得了 $ \int x \cdot \sin x \, dx $ 的不定积分。该过程的关键在于合理选择 u 和 dv，使得后续的积分变得简单。这不仅是解决这类问题的一种有效手段，也是学习高等数学过程中必须掌握的基本技能之一。
如果你在学习中遇到类似的积分问题，不妨尝试用分部积分法去分析，相信你会逐渐掌握其中的规律与技巧。
