在财务管理与投资学中，年金的概念是非常重要的。其中，普通年金是指在每个计息期的期末进行等额支付或收款的一系列现金流。对于这类问题，计算其未来价值（即终值）时，我们需要借助于普通年金终值公式。本文将详细探讨这一公式的推导过程。

首先，假设有一笔普通年金，每年末支付金额为PMT，并且该年金持续n年，每期的利率为i。那么，这笔年金的终值FV可以通过逐项累加每一笔款项及其利息来获得。具体来说：

第1年的付款PMT，在经历(n-1)个周期后，其终值为PMT (1 + i)^(n-1)；

第2年的付款PMT，在经历(n-2)个周期后，其终值为PMT (1 + i)^(n-2)；

...

第n年的付款PMT，在经历0个周期后，其终值为PMT。

因此，普通年金的终值FV可以表示为：

\[ FV = PMT \cdot (1 + i)^{n-1} + PMT \cdot (1 + i)^{n-2} + ... + PMT \]

这是一个等比数列求和的问题。根据等比数列求和公式：

\[ S_n = a_1 \frac{(1 - r^n)}{1 - r}, \quad r \neq 1 \]

其中\(a_1\)为首项，\(r\)为公比，\(n\)为项数。

在此情况下，首项\(a_1 = PMT \cdot (1 + i)^{n-1}\)，公比\(r = \frac{1}{1+i}\)，项数为n。代入上述公式得到：

\[ FV = PMT \cdot \left[ \frac{(1 + i)^n - 1}{i} \right] \]

这就是普通年金终值的计算公式。它反映了随着时间推移，定期支付的资金如何累积成更大的总金额。

通过以上推导可以看出，理解并掌握普通年金终值公式不仅有助于解决实际财务规划中的问题，还能帮助我们更好地评估不同投资方案的风险与收益。此外，这种逻辑推理的方式也为学习更复杂的金融工具奠定了坚实的基础。