在数学中，三角函数是一个重要的分支，而tan（正切）函数作为其中之一，经常出现在各种计算和实际问题中。今天，我们来探讨一个有趣的问题——tan15°的值是多少？

首先，我们需要明确tanθ的定义：tanθ = sinθ / cosθ。因此，要计算tan15°，我们需要先知道sin15°和cos15°的具体数值。

方法一：利用角度差公式

我们可以将15°表示为45° - 30°，然后使用三角函数的角度差公式：

- sin(A - B) = sinA·cosB - cosA·sinB

- cos(A - B) = cosA·cosB + sinA·sinB

代入A = 45°，B = 30°：

- sin15° = sin45°·cos30° - cos45°·sin30°

- cos15° = cos45°·cos30° + sin45°·sin30°

已知：

- sin45° = cos45° = √2/2

- sin30° = 1/2, cos30° = √3/2

计算得：

- sin15° = (√2/2)·(√3/2) - (√2/2)·(1/2) = (√6 - √2)/4

- cos15° = (√2/2)·(√3/2) + (√2/2)·(1/2) = (√6 + √2)/4

因此：

tan15° = sin15° / cos15° = [(√6 - √2)/4] / [(√6 + √2)/4] = (√6 - √2) / (√6 + √2)

方法二：利用倍角公式

我们也可以通过倍角公式推导出tan15°的值。已知tan30° = 1/√3，而tan15°是tan30°的一半角度。利用倍角公式：

tan(α/2) = (1 - cosα) / sinα

代入α = 30°：

tan15° = (1 - cos30°) / sin30° = (1 - √3/2) / (1/2) = 2 - √3

总结

通过以上两种方法，我们得出tan15°的值为 2 - √3。

这个结果不仅可以通过理论推导验证，还可以通过计算器进行数值验证。无论是理论学习还是实际应用，掌握这些基本的三角函数值都是非常有用的。

希望这篇文章能帮助你更好地理解tan15°的计算过程！