【概率密度怎么求】在概率论与统计学中，概率密度函数（Probability Density Function, PDF） 是描述连续随机变量的概率分布的重要工具。与离散型随机变量的概率质量函数不同，连续型随机变量的取值是无限的，因此不能直接用“某个值的概率”来描述，而是通过概率密度函数来计算某个区间内的概率。
本文将总结如何求解概率密度函数，并以表格形式展示关键步骤和方法。
一、概率密度函数的基本概念
| 概念 | 定义 |
| 概率密度函数（PDF） | 对于连续型随机变量 $ X $，其概率密度函数 $ f(x) $ 满足：$ P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x) \, dx $ |
| 概率密度函数的性质 | 1. $ f(x) \geq 0 $； 2. $ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = 1 $ |
二、如何求概率密度函数
1. 已知分布类型时
如果已知随机变量服从某种已知分布（如正态分布、指数分布、均匀分布等），可以直接写出其概率密度函数。
| 分布类型 | 概率密度函数（PDF） |
| 均匀分布 $ U(a,b) $ | $ f(x) = \frac{1}{b-a}, \quad a \leq x \leq b $ |
| 正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $ | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ |
| 指数分布 $ \text{Exp}(\lambda) $ | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0 $ |
2. 从累积分布函数（CDF）导出PDF
对于一个连续型随机变量 $ X $，若已知其累积分布函数 $ F(x) = P(X \leq x) $，则其概率密度函数为：
$$
f(x) = \frac{d}{dx} F(x)
$$
即对CDF求导即可得到PDF。
3. 通过变换法求新变量的PDF
若已知随机变量 $ X $ 的PDF为 $ f_X(x) $，且 $ Y = g(X) $ 是一个单调可逆变换，则可以通过以下公式求得 $ Y $ 的PDF：
$$
f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \cdot \left
$$
其中 $ g^{-1}(y) $ 是 $ g(x) $ 的反函数。
4. 通过联合分布求边缘分布的PDF
若已知二维随机变量 $ (X, Y) $ 的联合概率密度函数 $ f_{X,Y}(x,y) $，则可以对其中一个变量积分得到另一个变量的边缘概率密度函数：
$$
f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{X,Y}(x,y) \, dy \\
f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{X,Y}(x,y) \, dx
$$
三、总结
| 方法 | 适用情况 | 说明 |
| 已知分布类型 | 熟悉的分布（如正态、指数等） | 直接使用标准公式 |
| 由CDF求导 | 已知CDF | 对CDF求导 |
| 变换法 | 变量变换 | 利用反函数和导数进行变换 |
| 边缘分布 | 联合分布已知 | 积分求边缘密度 |
通过以上方法，我们可以根据不同情况灵活地求出概率密度函数。掌握这些方法有助于更好地理解和应用概率统计知识。
