在高中阶段，数学作为一门基础学科，涵盖了代数、几何、三角函数、概率统计等多个重要领域。掌握好各类数学公式，不仅有助于提高解题效率，还能为后续的大学学习打下坚实的基础。本文将对高中数学中常见的公式进行系统性整理，帮助学生更好地理解和记忆。
一、代数部分
1. 因式分解公式
- $ a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) $
- $ a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2) $
- $ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $
- $ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $
2. 二次方程求根公式
对于方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $（$ a \neq 0 $），其根为：
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
3. 不等式性质
- 若 $ a > b $，则 $ a + c > b + c $
- 若 $ a > b $ 且 $ c > 0 $，则 $ ac > bc $
- 若 $ a > b $ 且 $ c < 0 $，则 $ ac < bc $
二、函数与方程
1. 一次函数
$ y = kx + b $，其中 $ k $ 为斜率，$ b $ 为截距。
2. 二次函数
$ y = ax^2 + bx + c $，顶点坐标为 $ \left( -\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a} \right) $
3. 指数函数与对数函数
- $ a^{\log_a b} = b $
- $ \log_a (mn) = \log_a m + \log_a n $
- $ \log_a \left( \frac{m}{n} \right) = \log_a m - \log_a n $
- $ \log_a m^n = n \log_a m $
三、三角函数
1. 基本公式
- $ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 $
- $ \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} $
- $ \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} $
2. 和角公式
- $ \sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta $
- $ \cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta $
3. 倍角公式
- $ \sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta $
- $ \cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2\cos^2 \theta - 1 = 1 - 2\sin^2 \theta $
四、数列与数列求和
1. 等差数列
- 通项公式：$ a_n = a_1 + (n - 1)d $
- 求和公式：$ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $
2. 等比数列
- 通项公式：$ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $
- 求和公式：当 $ r \neq 1 $ 时，$ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $
五、立体几何
1. 空间几何体体积公式
- 长方体：$ V = abc $
- 正方体：$ V = a^3 $
- 圆柱体：$ V = \pi r^2 h $
- 圆锥体：$ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h $
- 球体：$ V = \frac{4}{3} \pi r^3 $
2. 表面积公式
- 正方体：$ S = 6a^2 $
- 圆柱体：$ S = 2\pi r(r + h) $
- 球体：$ S = 4\pi r^2 $
六、解析几何
1. 直线方程
- 斜截式：$ y = kx + b $
- 点斜式：$ y - y_1 = k(x - x_1) $
- 一般式：$ Ax + By + C = 0 $
2. 两点间距离公式
$$
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
$$
3. 圆的标准方程
$$
(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2
$$
七、概率与统计
1. 排列组合公式
- 排列数：$ P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!} $
- 组合数：$ C(n, r) = \frac{n!}{r!(n - r)!} $
2. 概率公式
- 事件 A 发生的概率：$ P(A) = \frac{\text{有利结果数}}{\text{总结果数}} $
- 互斥事件：$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) $
- 独立事件：$ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) $
3. 期望与方差
- 期望：$ E(X) = \sum x_i \cdot P(x_i) $
- 方差：$ D(X) = E[(X - E(X))^2] $
结语
高中数学公式繁多，但只要理解其推导过程并加以练习，就能灵活运用。建议同学们在学习过程中注重公式的记忆与应用，结合典型例题进行巩固，逐步提升自己的数学能力。希望本文能为你的学习提供帮助，助你轻松应对考试与日常练习。
