【什么是凸函数、凹函数】在数学和优化理论中，凸函数和凹函数是两个非常重要的概念。它们不仅在数学分析中具有重要意义，在经济学、机器学习、运筹学等领域也有广泛应用。理解这两个概念有助于我们更好地分析函数的性质，尤其是极值点的判断和优化问题的求解。
一、
1. 凸函数（Convex Function）
一个函数 $ f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} $ 被称为凸函数，如果对于任意两点 $ x_1, x_2 \in \text{dom}(f) $ 和任意 $ \lambda \in [0, 1] $，满足：
$$
f(\lambda x_1 + (1 - \lambda)x_2) \leq \lambda f(x_1) + (1 - \lambda)f(x_2)
$$
换句话说，连接函数图像上任意两点的线段位于该函数图像的上方或与之重合。凸函数的最小值点是全局最优解，这使得它在优化问题中非常重要。
2. 凹函数（Concave Function）
一个函数 $ f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} $ 被称为凹函数，如果其负函数 $ -f $ 是凸函数，即：
$$
f(\lambda x_1 + (1 - \lambda)x_2) \geq \lambda f(x_1) + (1 - \lambda)f(x_2)
$$
凹函数的图像上任意两点之间的线段位于该函数图像的下方或与之重合。凹函数的最大值点是全局最优解。
3. 判断方法
- 一阶条件：若函数可导，则凸函数的导数是单调递增的；凹函数的导数是单调递减的。
- 二阶条件：若函数二阶可导，则凸函数的二阶导数非负；凹函数的二阶导数非正。
4. 应用场景
- 凸函数常用于最小化问题，如损失函数、成本函数等。
- 凹函数常用于最大化问题，如效用函数、收益函数等。
二、表格对比
| 特性 | 凸函数 | 凹函数 |
| 定义 | 对任意 $ x_1, x_2 $，有 $ f(\lambda x_1 + (1 - \lambda)x_2) \leq \lambda f(x_1) + (1 - \lambda)f(x_2) $ | 对任意 $ x_1, x_2 $，有 $ f(\lambda x_1 + (1 - \lambda)x_2) \geq \lambda f(x_1) + (1 - \lambda)f(x_2) $ |
| 图像形状 | 线段在图像之上或重合 | 线段在图像之下或重合 |
| 极值点 | 全局最小值 | 全局最大值 |
| 导数性质 | 一阶导数单调递增 | 一阶导数单调递减 |
| 二阶导数 | 非负（$ f''(x) \geq 0 $） | 非正（$ f''(x) \leq 0 $） |
| 常见例子 | $ f(x) = x^2 $, $ f(x) = e^x $ | $ f(x) = -x^2 $, $ f(x) = \ln x $ |
| 应用领域 | 最小化问题、优化算法 | 最大化问题、经济学模型 |
通过以上内容，我们可以清晰地理解凸函数与凹函数的基本定义、性质以及实际应用。掌握这些概念，有助于我们在不同学科中更准确地分析和解决问题。
