【多项式长除法】多项式长除法是代数中一种用于将一个多项式除以另一个多项式的方法，类似于整数的长除法。它主要用于分解多项式、求解多项式方程或简化表达式。通过这种方法，可以将一个高次多项式分解为低次多项式的乘积，从而更容易分析其根或进行进一步计算。
一、多项式长除法的基本步骤
1. 排列多项式：将被除式和除式都按降幂排列，若缺少某一项，则用0补上。
2. 确定首项：将被除式的首项除以除式的首项，得到商的第一项。
3. 相乘并减去：将得到的商项与除式相乘，然后从被除式中减去这个结果。
4. 重复步骤：将余式继续作为新的被除式，重复上述步骤，直到余式的次数低于除式的次数为止。
5. 写出结果：最后的商加上余式（如果有的话）即为最终结果。
二、多项式长除法示例
我们以以下例子说明：
被除式：$ x^3 + 2x^2 - 5x + 6 $
除式：$ x - 1 $
| 步骤 | 操作 | 结果 |
| 1 | 排列多项式 | 已排列 |
| 2 | 首项相除：$ \frac{x^3}{x} = x^2 $ | 商的第一项为 $ x^2 $ |
| 3 | 相乘并减去：$ x^2(x - 1) = x^3 - x^2 $；从被除式中减去 | $ (x^3 + 2x^2) - (x^3 - x^2) = 3x^2 $ |
| 4 | 继续：首项相除：$ \frac{3x^2}{x} = 3x $ | 商的下一项为 $ 3x $ |
| 5 | 相乘并减去：$ 3x(x - 1) = 3x^2 - 3x $；从余式中减去 | $ (3x^2 - 5x) - (3x^2 - 3x) = -2x $ |
| 6 | 继续：首项相除：$ \frac{-2x}{x} = -2 $ | 商的下一项为 $ -2 $ |
| 7 | 相乘并减去：$ -2(x - 1) = -2x + 2 $；从余式中减去 | $ (-2x + 6) - (-2x + 2) = 4 $ |
三、最终结果
- 商：$ x^2 + 3x - 2 $
- 余数：$ 4 $
因此，原式可表示为：
$$
\frac{x^3 + 2x^2 - 5x + 6}{x - 1} = x^2 + 3x - 2 + \frac{4}{x - 1}
$$
四、总结
| 项目 | 内容 |
| 方法名称 | 多项式长除法 |
| 用途 | 分解多项式、求解多项式方程、简化表达式 |
| 步骤 | 排列、首项相除、相乘减去、重复操作、得出结果 |
| 示例 | $ \frac{x^3 + 2x^2 - 5x + 6}{x - 1} = x^2 + 3x - 2 + \frac{4}{x - 1} $ |
| 注意事项 | 保持多项式按降幂排列，注意符号变化，余式次数应小于除式次数 |
通过掌握多项式长除法，可以更高效地处理复杂的代数问题，并为后续学习因式分解、函数图像分析等打下坚实基础。
