【特征函数的定义】在概率论和数理统计中，特征函数是一个非常重要的工具，它用于描述随机变量的分布特性。与概率密度函数或分布函数不同，特征函数通过复数形式的傅里叶变换来表达随机变量的信息，具有良好的数学性质，常用于推导随机变量的分布、计算期望值以及处理独立随机变量的和等问题。
一、特征函数的定义
设 $ X $ 是一个实值随机变量，其分布函数为 $ F(x) $，则称：
$$
\phi(t) = \mathbb{E}[e^{itX}
$$
为 随机变量 $ X $ 的特征函数，其中 $ i $ 是虚数单位（$ i^2 = -1 $），$ t \in \mathbb{R} $ 是实数参数。
对于连续型随机变量，若存在概率密度函数 $ f(x) $，则特征函数可表示为：
$$
\phi(t) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{itx} f(x) \, dx
$$
而对于离散型随机变量，特征函数可以写成：
$$
\phi(t) = \sum_{k} e^{itx_k} P(X = x_k)
$$
二、特征函数的性质
| 性质 | 描述 |
| 1. 唯一性 | 如果两个随机变量的特征函数相同，则它们的分布也相同。 |
| 2. 在原点处的值 | $\phi(0) = 1$，因为 $ e^{i \cdot 0 \cdot X} = 1 $，所以期望为1。 |
| 3. 连续性 | 特征函数是连续的，并且在 $ t = 0 $ 处可导。 |
| 4. 对称性 | 若 $ X $ 为对称分布（如正态分布），则 $\phi(-t) = \overline{\phi(t)}$（共轭）。 |
| 5. 独立性 | 若 $ X $ 和 $ Y $ 独立，则 $ \phi_{X+Y}(t) = \phi_X(t) \cdot \phi_Y(t) $。 |
| 6. 与矩的关系 | 可以通过对特征函数求导得到随机变量的各阶矩。 |
三、常见分布的特征函数
| 分布名称 | 概率密度函数或分布律 | 特征函数 |
| 正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $ | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \phi(t) = e^{i\mu t - \frac{1}{2} \sigma^2 t^2} $ |
| 指数分布 $ \text{Exp}(\lambda) $ | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x},\ x \geq 0 $ | $ \phi(t) = \frac{\lambda}{\lambda - it} $ |
| 伯努利分布 $ \text{Bernoulli}(p) $ | $ P(X=1) = p,\ P(X=0) = 1-p $ | $ \phi(t) = 1 - p + p e^{it} $ |
| 泊松分布 $ \text{Poisson}(\lambda) $ | $ P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \phi(t) = e^{\lambda (e^{it} - 1)} $ |
四、总结
特征函数是一种从概率分布中提取信息的有效工具，尤其在处理多个随机变量的组合、推导分布性质以及计算期望值时非常有用。它不仅具有理论上的优美性，也在实际应用中（如信号处理、金融建模等）发挥着重要作用。掌握特征函数的定义及其性质，有助于更深入地理解概率论的核心概念。
