【特征函数怎么求】在概率论和统计学中，特征函数是一个非常重要的工具，用于研究随机变量的分布性质。它与概率密度函数（PDF）或概率质量函数（PMF）之间存在一一对应关系，因此在分析随机变量时具有广泛的应用。
本文将总结如何求解特征函数，并通过表格形式清晰展示不同常见分布的特征函数公式。
一、什么是特征函数？
对于一个随机变量 $ X $，其特征函数定义为：
$$
\phi_X(t) = \mathbb{E}[e^{itX}
$$
其中 $ i $ 是虚数单位，$ t \in \mathbb{R} $。特征函数可以看作是概率分布的“傅里叶变换”，能够唯一确定一个分布。
二、如何求特征函数？
1. 离散型随机变量：
若 $ X $ 是离散型随机变量，取值为 $ x_1, x_2, \dots $，对应的概率为 $ p_1, p_2, \dots $，则特征函数为：
$$
\phi_X(t) = \sum_{k=1}^{\infty} p_k e^{itx_k}
$$
2. 连续型随机变量：
若 $ X $ 是连续型随机变量，概率密度函数为 $ f(x) $，则特征函数为：
$$
\phi_X(t) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{itx} f(x) dx
$$
3. 使用数学工具：
在实际计算中，可以借助积分技巧、级数展开、对称性等方法来简化计算。
三、常见分布的特征函数汇总
| 分布名称 | 概率密度函数 / 质量函数 | 特征函数 $ \phi(t) $ |
| 伯努利分布 | $ P(X=k) = p^k(1-p)^{1-k} $ | $ (1-p) + pe^{it} $ |
| 二项分布 | $ P(X=k) = C_n^k p^k(1-p)^{n-k} $ | $ [(1-p) + pe^{it}]^n $ |
| 泊松分布 | $ P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ e^{\lambda(e^{it} - 1)} $ |
| 正态分布 | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ e^{i\mu t - \frac{1}{2}\sigma^2 t^2} $ |
| 指数分布 | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} $ (x ≥ 0) | $ \frac{\lambda}{\lambda - it} $ |
| 均匀分布 | $ f(x) = \frac{1}{b-a} $ (a ≤ x ≤ b) | $ \frac{e^{itb} - e^{ita}}{it(b - a)} $ |
四、注意事项
- 特征函数在原点处总是等于1，即 $ \phi_X(0) = 1 $。
- 如果两个随机变量的特征函数相同，则它们的分布也相同。
- 对于多维随机变量，特征函数可以推广为多元特征函数。
五、总结
特征函数是一种强大的数学工具，可以帮助我们从另一个角度理解随机变量的分布特性。无论是离散还是连续分布，只要知道其概率函数，就可以通过定义直接计算出特征函数。同时，掌握一些常见分布的特征函数公式，有助于快速进行概率分析和统计推断。
如需进一步了解特征函数的性质或应用，可参考概率论与数理统计相关教材或论文。
