【数列求和公式】在数学中，数列求和是一个常见的问题，尤其在等差数列、等比数列以及一些特殊数列的计算中尤为重要。掌握不同数列的求和公式，不仅有助于提高解题效率，还能加深对数列规律的理解。以下是对常见数列求和公式的总结，并以表格形式进行展示。

一、等差数列求和公式

等差数列是指每一项与前一项的差为常数的数列。设首项为 $ a_1 $，公差为 $ d $，项数为 $ n $，则第 $ n $ 项为 $ a_n = a_1 + (n - 1)d $。

求和公式：

$$

S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n)

$$

或

$$

S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n - 1)d

$$

二、等比数列求和公式

等比数列是指每一项与前一项的比为常数的数列。设首项为 $ a_1 $，公比为 $ r $（$ r \neq 1 $），项数为 $ n $，则第 $ n $ 项为 $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $。

求和公式：

$$

S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}

$$

当 $ r < 1 $ 时，若 $ n \to \infty $，则无穷等比数列的和为：

$$

S = \frac{a_1}{1 - r}

$$

三、自然数列求和公式

自然数列是首项为1，公差为1的等差数列，即 $ 1, 2, 3, ..., n $。

求和公式：

$$

S_n = \frac{n(n + 1)}{2}

$$

四、平方数列求和公式

平方数列是 $ 1^2, 2^2, 3^2, ..., n^2 $ 的数列。

求和公式：

$$

S_n = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}

$$

五、立方数列求和公式

立方数列是 $ 1^3, 2^3, 3^3, ..., n^3 $ 的数列。

求和公式：

$$

S_n = \left( \frac{n(n + 1)}{2} \right)^2

$$

六、其他常见数列求和公式

通过以上总结可以看出，不同的数列有不同的求和方式，掌握这些公式可以有效提升数学解题能力。在实际应用中，应根据数列的特点选择合适的求和方法，避免混淆和错误。