log 的全部公式是以对数定义为基础，衍生出来的运算恒等式，包含基本恒等式，积商幂对数公式，换底公式，推论公式，对数函数相关性质公式，所有公式都有前提限制，底数必须大于 0 且不等于 1，真数必须大于 0，不能脱离定义域直接套用公式，这些公式主要作用是把对数乘除幂运算进行化简，统一不同底数的对数，是高中数学，高等数学，工程计算里面高频使用的核心工具，很多同学背公式容易忽略适用条件，做题的时候出现底数为 1 或者真数为负数仍然套用公式的错误，同时还要区分常用对数 lg 自然对数 ln，它们只是底数固定的特殊 log，全部公式同样适用，换底公式是整个 log 公式体系里面最重要的拓展公式，很多复杂对数计算题都要依靠换底完成底数统一，再结合积商幂公式化简。

为什么要掌握 log 的全部公式

对数本身是指数逆运算，原始定义只能完成指数和对数互转，遇到多个对数相乘相除，不同底数对数混合计算的时候，只靠定义无法快速化简，log 的全部公式就是把指数运算的规律平移到对数运算，实现降阶计算，把乘法变成加法，除法变成减法，幂次变成乘法，大幅简化大数计算和方程求解，在导数，数列，不等式，物理化学计算，计算机算法复杂度分析里面，都会反复用到这套公式，如果公式记忆混乱，很容易把加减乘除对应关系记反，造成整道题目计算失误。

基础恒等式

积商幂核心运算公式

1 积的对数 log 以 a 为底 M 乘以 N = log 以 a 为底 M + log 以 a 为底 N

解释 同底数对数，真数相乘，对数相加，前提 M 大于 0 N 大于 0

2 商的对数 log 以 a 为底 M 除以 N = log 以 a 为底 M - log 以 a 为底 N

解释 同底数对数，真数相除，对数相减

3 幂的对数 log 以 a 为底 M 的 n 次方 = n 乘以 log 以 a 为底 M

解释 真数的指数，可以提到 log 前面作为系数，n 可以是任意实数

4 方根对数 log 以 a 为底 M 开 n 次方 = n 分之一 乘以 log 以 a 为底 M

解释 属于幂公式的特殊形式，开 n 次方等价于 M 的 n 分之一次方

换底公式与推论

1 主换底公式 log 以 a 为底 b = log 以 c 为底 b 除以 log 以 c 为底 a

解释 c 可以选择任意合法底数，做题经常选 10 或者 e，也就是换成 lg 或者 ln，方便计算器计算

2 倒数推论 log 以 a 为底 b 乘以 log 以 b 为底 a = 1

解释 两个对数底数真数互换，乘积等于 1

3 底数幂推论 log 以 a 的 m 次方为底 b 的 n 次方 = n 除以 m 乘以 log 以 a 为底 b

解释 底数和真数同时带幂次，可以把指数提取出来做系数

4 连锁推论 log 以 a 为底 b 乘以 log 以 b 为底 c 乘以 log 以 c 为底 d = log 以 a 为底 d

解释 连续换底，中间底数全部抵消，也叫对数链式公式

补充拓展公式

1 常用对数 lg 就是 log 以 10 为底，自然对数 ln 就是 log 以 e 为底，上面所有 log 的全部公式对 lg 和 ln 同样成立

2 对数和指数互转公式 如果 x = log 以 a 为底 N，那么 a 的 x 次方 = N，这是源头定义公式，属于所有 log 公式的根基

3 对数函数单调性公式 当 a 大于 1，y=log 以 a 为底 x 单调递增，当 0 小于 a 小于 1，y=log 以 a 为底 x 单调递减，这个属于函数性质，经常和不等式结合出题

使用 log 全部公式的标准步骤

1 第一步先检查定义域，确认底数大于 0 不等于 1，所有真数大于 0，不满足条件的式子不能套用公式

2 第二步观察底数，如果底数不统一，优先使用换底公式，把全部对数转换成同底数，一般统一成 ln 或者 lg

3 第三步使用积商幂公式，把复杂真数拆分成加减形式，或者把幂次提前

4 第四步代入特殊值公式化简，比如 log 以 a 为底 1 等于 0，log 以 a 为底 a 等于 1

5 第五步计算结果，最后再次检验定义域，舍去不符合条件的解

log 的全部公式核心逻辑就是同底数优先化简，不同底数依靠换底，牢记乘变加除变减幂提系数，所有公式都不能脱离定义域强行使用，熟练之后可以快速处理对数化简，对数方程，对数不等式相关题型，同时在高等数学和工程领域持续应用。

【常见问题】

问题 1 学习 log 的全部公式的时候，积的对数公式能不能扩展到多个真数相乘

回答 1 log 的全部公式里面积的对数基础是两个真数相乘，这个公式可以继续拓展，多个真数相乘，对应的 log 就是多个对数相加，前提每一个真数都满足大于 0，仍然属于 log 的全部公式体系内的延伸用法。

问题 2 log 的全部公式里面换底公式的底数 c 可以随便选吗

回答 2 log 的全部公式里面换底公式的底数 c 只要满足大于 0 并且不等于 1 就可以，做题一般选择 10 或者自然常数 e，是为了方便计算器运算，并不是只能固定选这两个底数。

问题 3 log 的全部公式里面幂的对数公式，指数 n 必须是正整数吗

回答 3 log 的全部公式里面幂的对数公式，指数 n 不局限正整数，可以是分数负数任意实数，只要真数 M 大于 0 就可以使用，开方计算就是分数指数的典型应用。

问题 4 使用 log 的全部公式做题，需要同时满足底数相同吗

回答 4 log 的全部公式里面积商幂运算公式要求底数相同，如果底数不一样，不能直接套用加减公式，必须先用换底公式统一底数之后，才可以继续使用 log 的全部公式进行化简。

【免责申明】

本文整理的 log 的全部公式仅作为数学学习参考，不同教材表述略有差异，正式考试请以教材和考纲要求为准，因公式套用错误造成计算失误由使用者自行承担。